À première vue, les mathématiques sont difficiles, mais si vous vous y mettez avec toute votre concentration, ce sera plutôt amusant. C’est justement le cas pour les fonctions qui ont toujours des modèles de référence affectés. Effectivement, dès que vous apercevez la forme initiale, vous pourrez déjà avoir une idée de l’allure de la courbe finale qu’on vous demande de faire. Pour cela, vous devez tenir en compte la fonction de référence associée et le résultat ne sera pas loin.
Qu’est-ce qu’une fonction de référence ?
Une
fonction de référence, également appelé fonction usuelle est une forme représentative d’autres fonctions. Dans le premier cycle de la secondaire, on apprend les formes de bases : linéaire et affine, mais dans le second cycle de la secondaire, on apprend les autres formes comme les fonctions logarithme népérien.
Ainsi, pour le traçage des courbes, vous devez voir le type de fonction qu’on vous donne. Par exemple, s’il s’agit d’une fonction linéaire simple, votre courbe va être une droite rectiligne. S’il s’agit d’une fonction ln, vous allez avoir une courbe en parabole.
Les fonctions de références sont les origines de toutes les autres formes. Ce sont les coordonnés qui changent, mais l’allure de la courbe sera toujours la même. Ainsi, c’est déjà une première vérification que vous pourrez faire pour votre devoir. Si vous avez une fonction linéaire alors que votre courbe est en parabole, c’est qu’il y a forcément une erreur dans votre devoir.
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Les fonctions linéaires et les fonctions affines
L’expression algébrique d’une fonction linéaire est très simple, c’est f (x) = ax dont f est la fonction elle-même, a est le coefficient de proportionnalité et x est la variable. Elle peut changer en d’autre lettre, par exemple : f(y)=3y. La fonction linéaire est toujours représentée par une droite dirigée par a, c’est pour cela qu’on l’appelle aussi coefficient directeur. La fonction est définie pour tout x appartenant à l’ensemble des entiers réels dans le cas où la variable est différente de 0. Ainsi, l’origine de la courbe coïncide toujours avec l’origine du repère.
La fonction affine est représentée par l’expression f (x) = ax + b dont f est la fonction, a et b des nombres réels et x la variable. La fonction est définie sur R, si b=0, elle se transforme en fonction linéaire, si a=0, elle se transforme en constante. Si a est supérieur à 0, elle est croissante, mais si a est inférieur à 0, elle est décroissante. Ainsi, son signe dépend du coefficient directeur a qui est sa dérivée. Si on multiplie deux fonctions affines, on aura une fonction polynomiale de degré 2. La composition de deux fonctions affines donne une suite arithmétique.
Les fonctions carrées et les fonctions inverses
La fonction carrée est aussi définie sur R sous la forme f (x) = x2. Elle étudie la relation carrée d’où son appellation. Sa courbe est une parabole qui passe par l’origine 0 du repère orthonormé. Effectivement, si x = 0, alors la fonction devient f (0) = 02 et c’est le sommet de la courbe. Entre - ꝏ et 0, la fonction est décroissante et entre 0 et + ꝏ, elle est croissante. Comme (-x2) = (x2), alors elle est toujours positive suivant y. De ce fait, cet axe des ordonnées devient son axe de symétrie. C’est une fonction paire.
La fonction inverse n’existe que sur R* ou sur R\{0}, c’est-à-dire qu’elle ne passe pas par 0. C’est particulièrement dû à sa forme f (x) = 1/x. Elle est toujours décroissante sur - ꝏ à 0 et sur 0 à + ꝏ. Sur un repère orthonormé direct, la courbe a l’allure d’une hyperbole dont l’origine est le centre de symétrie. C’est une
fonction de référence impaire.
Les fonctions de références plus compliquées
Tout d’abord, il y a la fonction racine carrée qui existe sur [0 ; + ꝏ[ sous la forme f x= x . La racine est toujours positive, ainsi, elle est strictement croissante sur cet intervalle. Comme représentation graphique, elle a l’allure d’une demi-parabole sur la partie positive du repère.
Ensuite, il y a la fonction valeur absolue qui existe aussi sur R sous la forme f x= x. Comme la valeur absolue est toujours positive, alors, la courbe se trouve sur la partie positive de l’axe des ordonnées. Seulement, elle est décroissante sur [- ꝏ ; 0] et elle est croissante sur [0 ; + ꝏ[. C’est parce que la valeur absolue d’une réelle est toujours positive. Il s’agit d’une fonction paire.
Enfin, il y a la fonction cube qui existe sur R sous la forme f x= x3. C’est aussi une
fonction de référence. Si x est négatif, alors la courbe se trouve dans la partie négative du repère, mais si elle est positive, alors la courbe se trouve dans la partie positive. Elle est strictement croissante et passe par l’origine 0 du repère. Sur une représentation graphique, c’est une fonction impaire.
